Distribusi Peluang Teoritis
.
· Peubah Acak
Fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang
contoh sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata disebut : PEUBAH
ACAK = VARIABEL ACAK = RANDOM VARIABLE (beberapa buku juga menyebutnya sebagai
STOCHASTIC VARIABLE )
· X dan x
Biasanya PEUBAH ACAK dinotasikan sebagai X (X kapital)
Nilai dalam X dinyatakan sebagai x (huruf kecil x).
Contoh 1 :
Pelemparan sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
dimana G = GAMBAR dan A = ANGKA
X: setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1)
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
3
2
2
2 1
1
1 0
Perhatikan bahwa X{0,1,2,3}
Nilai x1= 0, x2= 1 x3= 2, x4= 3
· Kategori Peubah Acak
Peubah Acak dapat dikategorikan menjadi:
a. Peubah
Acak Diskrit :
nilainyaberupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.
®
untuk hal-hal yang dapat dicacah
Misal : Banyaknya Produk yang rusak = 12 buah
Banyak pegawai yang di-PHK= 5 orang
b. Peubah
Acak Kontinyu:
nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat di hitung dan
tidak terhingga
(memungkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan)
® untuk
hal-hal yang diukur
(jarak, waktu,
berat, volume)
Misalnya Jarak Pabrik ke Pasar
= 35.57 km
Waktu produksi per unit = 15.07 menit
Berat bersih produk = 209.69 gram
Volume kemasan = 100.00
cc
· Distribusi
Peluang Teoritis
Tabel atau Rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai
peubah acak berikut peluangnya.
Berhubungan dengan kategori peubah acak, maka dikenal :
a. Distribusi Peluang Diskrit : Binomial,
Poisson
b. Distribusi Peluang Kontinyu : Normal*) t, F, c²(chi
kuadrat)
2. Distribusi
Peluang Diskrit
2.1 Distribusi
Peluang Binomial
· Percobaan Binomial
Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri
sebagai berikut:
1. Percobaan diulang n kali
2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke
dalam 2 kelas;
Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL"
("YA" atau "TIDAK";
"SUCCESS" or "FAILED")
3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p
tidak berubah.
Peluang gagal = q = 1- p.
4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.
Definisi Distribusi Peluang Binomial
untuk x = 0,1,23,...,n
n: banyaknya ulangan
x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X
p: peluang berhasil pada setiap ulangan
q: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan
Contoh 2 :
Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3
kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!
Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"
x = 3
n = 5 pelemparan diulang 5 kali
p =
q = 1- =
q = 1- = 
= 
= 10 ´ 0.003215...=
0.03215...
= 10 ´ 0.003215...=
0.03215...
Contoh 4b:
Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10,
jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak
membolos?
Kejadian yang ditanyakan ® Kejadian SUKSES = TIDAK
MEMBOLOS
Yang diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60
p = 1 - q = 1 - 0.60 =
0.40
x =
2,
n = 5
b(x = 2; n = 5, p = 0.40) = ....................
Tabel Peluang Binomial
Soal-soal peluang peluang binomial dapat diselesaikan dengan
bantuan Tabel Distribusi Peluang Binomial (Lihat hal 157-162, Statistika
2)
Cara membaca Tabel tersebut :
Misal :
n
x p =
0.10 p = 0.15
p = 0.20 dst
5
0
0.5905
0.4437
0.3277
1
0.3280
0.3915
0.4096
2
0.0729
0.1382
0.2048
3
0.0081
0.0244
0.0512
4
0.0004
0.0020
0.0064
5
0.0000
0.0001
0.0003
Perhatikan Total setiap Kolom p = 1.0000 (atau karena
pembulatan, nilainya tidak persis = 1.0000 hanya mendekati 1.0000)
x = 0 n = 5 p =
0.10
b(0; 5, 0.10) = 0.5905
x =1 n = 5 p =
0.10
b(1; 5, 0.10) = 0.3280
Jika 0 x 2, n = 5 dan p = 0.10 maka b(x; n,
p) =
b(0; 5, 0.10)+ b(1; 5, 0.10)+b(2;5,0.10)
= 0.5905 + 0.3280 +0.0729 = 0.9914
Contoh 5
Suatu perusahaan “pengiriman paket ” terikat perjanjian
bahwa keterlambatan paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya
kompensasi.
Jika Peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0.20
Bila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitas :
a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak
membayar biaya kompensasi?
(x = 0)
b. Lebih dari 2 paket terlambat? (x >2)
c. Tidak Lebih dari 3 paket yang terlambat?(x £ 3)
d. Ada 2 sampai 4 paket yang terlambat?(2 £
x £ 4)
e. Paling tidak ada 2 paket yang terlambat?(x ³ 2)
Jawab
a. x = 0 ® b(0; 5, 0.20) = 03277 (lihat di
tabel atau dihitung dgn rumus)
b. x > 2 ® Lihat tabel dan
lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(3; 5, 0.20) + b(4; 5, 0.20) + b(5; 5,
0.20) =
0.0512+ 0.0064 + 0.0003 = 0.0579
atau .....
®
1 - b(x £ 2) = 1 - [b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2;
5, 0.20) = 1 - [0.3277 + 0.4096 + 0.2048)= 1 - 0.9421 = 0.0579
Rata-rata dan Ragam Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah
Rata-rata = np
Ragam s ² = npq
n = ukuran populasi
p = peluang keberhasilan setiap ulangan
q = 1 - p = peluang gagal setiap ulangan
2.3 Distribusi Peluang
Poisson
Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :
1. Hasil
percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil
percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah
2. Peluang
terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan
luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku
hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit
3. Peluang
bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu
dan luasan
tempat yang sama diabaikan
Definisi Distribusi Peluang Poisson :
e : bilangan natural =
2.71828...
x : banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel
m :
rata-rata keberhasilan
Perhatikan rumus yang digunakan! Peluang suatu kejadian
Poisson hitung dari rata-rata populasi (m)
· Tabel Peluang Poisson
Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson
dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164)
Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda
dengan Tabel Binomial
Misal:
x m =
4.5 m =
5.0
0
0.0111
0.0067
1
0.0500
0.0337
2
0.1125
0.0842
3
0.1687
0.1404
dst
dst
dst
15
0.0001
0.0002
poisson(2; 4.5) = 0.1125
poisson(x < 3; 4.5) = poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+
poisson(2; 4.5)
= 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736
poisson(x > 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5)
+...+ poisson(15;4.5)
atau
= 1 - poisson(x £ 2)
=
1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]
= 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 - 0.1736 = 0.8264
Contoh 6 :
Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan
ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:
a. tidak ada kesalahan?(x = 0)
b. tidak lebih dari 3 kesalahan?( x £ 3)
c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)
d. paling tidak ada 3 kesalahan (x ³ 3)
Jawab:
= 5
a. x = 0 dengan rumus? hitung poisson(0; 5)
atau
dengan Tabel Distribusi Poisson
di bawah x:0 dengan = 5.0 (0;
5.0) = 0.0067
b. x 3 dengan Tabel Distribusi Poisson
hitung
poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) +
poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0) =
0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650
c. x > 3 poisson( x 3; 5.0) =
poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +
poisson(7; 5.0) + ... + poisson(15; 5.0)
atau
poisson(x
>3) = 1 - poisson(x3)
= 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) +
poisson(3;
5.0)]
= 1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]
= 1 - 0.2650
= 0.7350
Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial :
· Pendekatan
Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n
> 20) dan p sangat kecil (p < 0.01) dengan terlebih dahulu
menetapkan p dan kemudian menetapkan m = n x p
Contoh 7
Dari 1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat
masuk kuliah setiap hari, jika pada suatu hari terdapat 5 000 mahasiswa, berapa
peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat?
Kejadian Sukses : selalu terlambat masuk kuliah
p = 
=
0.002
n = 5
000
x > 3
=
0.002
n = 5
000
x > 3
jika diselesaikan dengan peluang Binomial ® b(x
> 3; 5 000, 0.002)
tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus
sangat tidak praktis.
p =
0.002
n = 5 000 x>3
m = n ´ p = 0.002 ´ 5 000 = 10
diselesaikan dengan peluang Poisson ® poisson (x
> 3; 10) = 1 - poisson (x £ 3)
= 1 - [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)
= 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972
3
Distribusi Peluang Kontinyu
3.1 Distribusi Normal
· Nilai
Peluang peubah acak dalamDistribusi Peluang Normal dinyatakan dalam luas dari
di bawah kurva berbentuk genta\lonceng (bell shaped curve).
· Kurva
maupun persamaan Normal melibatkan nilai x, m dan s.
· Keseluruhan
kurva akan bernilai 1, ini mengambarkan sifat peluang yang tidak pernah negatif
dan maksimal bernilai satu
Perhatikan gambar di bawah ini:
 |
s 
m
x
Gambar1. Kurva
Distribusi Normal
Definisi Distribusi Peluang Normal
n(x; m, s) = 
untuk nilai x : -¥ < x < ¥
e =
2.71828..... p =
3.14159...
m :
rata-rata populasi
s :
simpangan baku populasi
s² : ragam
populasi
· Untuk
memudahkan penyelesaian soal-soal peluang Normal, telah disediakan tabel nilai
z (Statistika2, hal 175)
Perhatikan dalam tabel tersebut :
1. Nilai
yang dicantumkan adalah nilai z
2. Luas
kurva yang dicantumkan dalam tabel = 0.50 (setengah bagian kurva normal)
 |
0
z
3. Nilai z
yang dimasukkan dalam tabel ini adalah luas dari sumbu 0 sampai dengan
nilai z
Dalam soal-soal peluang Normal tanda = . £ dan ³ diabaikan,
jadi hanya ada tanda < dan
>
Cara membaca Tabel Nilai z
z
.00 .01
.02 .03
.04 .05
.06 .07
.08 .09
0.0
0.1
0.2
::
1.0
1.1
1.2
0.3944
:
3.4
Nilai 0.3944 adalah untuk luas atau peluang 0 < z <
1.25 yang digambarkan sebagai berikut
 |
||
 |
||
0 1.25
Gambar 2. Peluang 0 <
z < 1.25
Dari Gambar 2 dapat kita ketahui bahwa P(z >1.25 ) = 0.5
- 0.3944 = 0.1056
 |
||
|
||
0 1.25
Gambar 3. Peluang
(z>1.25)
P(z < 25) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944
0
1.25
Gambar 4. Peluang (z
<1.25)
Luas daerah untuk z negatif dicari dengan cara yang sama,
perhatikan contoh berikut :
 |
P(-1.25 < z <0) =
0.3944
 |
-1.25
0
Gambar 5. Peluang (-1.25
< z < 0)
P(z >-1.25)
= 0.5 + 0.3944 = 0.8944 |
-1.25
0
Gambar 6. Peluang
(z>-1.25)
P(z < -1.25) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056
 |
-1.25
0
Gambar 7. Peluang (z
< -1.25)
Jika ingin dicari peluang diantara suatu nilai z® z1 <
z < z2, perhatikan contoh berikut :
P(-1.25<z<1.25) = 0.3944 + 0.3944 = 0.788
-1.25
0 1.25
Gambar 8. Peluang
(-1.25<z<1.25)
P(-1.30 < z < -1.25) = 0.4032 - 0.3944 = 0.0088
-1.30 -1.25
0
Gambar 9.
Peluang(-1.30<x<1.25)
Peluang (1.25 < z < 1.35) = 0.4115 - 0.3944 = 0.0171
 |
0
1.25 1.35
Gambar 10. Peluang
(1.25<z<1.35)
· Untuk
memastikan pembacaan peluang normal, gambarkan daerah yang ditanyakan!
Contoh 11 :
Rata-rata upah seorang buruh = $ 8.00 perjam dengan
simpangan baku = $ 0.60, jika terdapat 1 000 orang buruh, hitunglah :
a. banyak buruh yang menerima upah/jam kurang dari $
7.80
b. banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $
8.30
c. .banyak buruh yang menerima upah/jam antara $ 7.80 sampai
8.30
m =
8.00 s =
0.60
a. x <
7.80
P(x < 7.80) = P(z < -0.33) = 0.5 - 0.1293 = 0.3707 (Gambarkan!)
banyak buruh yang menerima upah/jam kurang dari $ 7.80 = 0.3707 x 1 000
= 370.7 = 371 orang
b. x >
8.30
P(x > 8.30) = P(z > 0.50) = 0.5 - 0.1915 = 0.3085 (Gambarkan!)
Banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $ 8.30 = 0.3085 x 1
000
= 308.5 = 309 orang
c. 7.80 <
x < 8.30
z1 = -0.33 z2 = 0.50
P(7.80 < x < 8.30) = P(-0.33 < z < 0.50) = 0.1915 + 0.1293 = 0.3208
(Gambarkan)
Banyak buruh yang menerima upah/jam dari $ 7.80 sampai $ 8.30
= 0.3208 x 1 000
= 320.8 = 321 orang
· Pendekatan untuk
peluang Binomial
p bernilai sangat kecil dan n relatif besar dan
a) JIKA rata-rata
(m) £ 20 MAKA lakukan pendekatan dengan distribusi
POISSON
dengan m =
n ´ p
b) JIKA
rata-rata (m) > 20 MAKA lakukan pendekatan dengan distribusi NORMAL
dengan
m = n ´ p
Contoh 12 :
Dari 200 soal pilihan berganda, yang jawabannya terdiri dari
lima pilihan (a, b, c,d dan e), berapa peluang anda akan menjawab BENAR lebih
dari 50 soal?
n =
300
p = 1/5 = 0.20
q = 1 - 0.20 = 0.80
Kerjakan dengan POISSON
P(x >50, p =
0.20) m =
n ´ p = 200 ´ 0.20 = 40
Poisson (x > 50; m = 40 ), m =
40 dalam TABEL POISSON menggunakan RUMUS., terlalu rumit!
KERJAKAN dengan NORMAL
P (x > 50, p =
0.20) m =
n ´ p = 200 ´ 0.20 = 40
= 200 ´ 0.20 ´0.80
= 32= 
P(x > 50 , p = 0.20) ® P (z > ?)
z = 
P (z > 1.77) = 0.5 - 0.4616 = 0.0384 = 3.84 %
